Assiomi di Peano

Gli Assiomi di Peano sono un gruppo di assiomi ideati dal matematico Giuseppe Peano al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei numeri naturali.

1. Esiste un numero naturale (0)
2. Ogni numero naturale ha un numero naturale successore che indicheremo con S(n)
3. Diversi numeri avranno diversi successori
4. Lo 0 non è successore di alcun numero
5. Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo 0 e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione) 

Numeri Naturali

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• operazioni in N; le quattro operazioni elementari: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione.
• esse godono di alcune proprietà: proprietà commutativa, proprietà associativa, proprietà invariantiva, proprietà distibutiva. Lo zero viene detto elemento neutro nell'addizione e nella sottrazione ed elemento assorbente nella moltiplicazione, mentre l'uno è l'elemento neutro di moltiplicazione  divisione
  
• algoritmo: procedure generale per la risoluzione di un problema generale es. a + b per le addizioni o sistema binario
  
• relazione fra gli elementi: essere multiplo. In matematica si dice che un numero intero a è multiplo di un altro numero intero b se esiste un terzo numero intero c tale che moltiplicato per b da come risultato a. Quindi a è multiplo di b se e solo se esiste c tale che a = c x b. Quindi ogni numero ha infiniti multipli e il risultato di una qualsiasi  moltiplicazione è un multiplo di due fattori.
  
•  Essere minore: un numero intero a si dice minore di b se è più vicino di b a 0 nella semiretta dei numeri naturali; uguali se occupano lo stesso posto nella semiretta dei numeri naturali a invece è maggiore di b se è più lontano allo 0 di b nella successione dei numeri naturali.
  
• Scrittura dei numeri naturali: sistema di numerazione. Un sistema di numerazione è un modo di esprimere e rappresentare i numeri attraverso un insieme di simboli. Attualmente il sistema di numerazione più diffuso è quello posizionale. Ovvero quando i numeri assumono valori diversi  a seconda della posizione che occupano, il nostro sistema di numerazione è anche decimale ma esistono anche altri sistemi posizionali come quello binario. 
• i numeri possono avere anche un aspetto cardinale e ordinale.                                              Aspetto cardinale: In matematica, i numeri cardinali sono una generalizzazione dei numeri naturali utilizzati per indicare la grandezza di un insieme. Mentre per gli insiemi finiti la grandezza è indicata da un numero naturale, e cioè il numero di elementi, i numeri cardinali (la cardinalità) classificano oltre a questi anche diversi tipi di infinito.                            Aspetto ordinale: Un numero ordinale è genericamente un'entità che si colloca naturalmente in un insieme omogeneo munito di una relazione d'ordine ampiamente riconosciuta come canonica; gli ordinali vengono usati per questa loro caratteristica per associarli biunivocamente ad altre entità per formare un elenco ordinato, cioè un insieme discreto totalmente ordinato. Tipicamente si usano come ordinali i numeri interi positivi 1, 2, 3, ecc.

ALTRI INSIEMI DI NUMERI. 

• Insieme z, insieme dei numeri interi relativi, o insieme dei numeri primi. Tutti gli interi preceduti dal segno + sono detti positivi mentre quelli preceduti dal segno - sono detti negativi. N incluso in Z. Z = N + numeri negativi.
• Insieme Q, insieme dei numeri razionali assoluti. Si chiama numero razionale assoluto ogni numero che può essere espresso sotto forma di frazione. Q a differenza di Z e N non è un insieme discreto infatti tra 2 numeri razionali si trovano infiniti numeri razionali. Z è incluso in Q. 
• Insieme R, Insieme dei numeri reali comprende sia i numeri razionali (numeri decimali limitati, numeri decimali periodici) che i  numeri irrazionali diremo quini che Q è un sottoinsieme di R. 
• insieme C, insieme dei numeri complessi che sono formati da due parti: una reale e una immaginaria ed è utilizzato per compiere tutte le operazioni.